El video es una introducción práctica a la integración de funciones con más de una variable, enfocándose en cómo integrar con respecto a una sola variable mientras se tratan las demás como constantes.
Propósito del Video:
Estos ejercicios sirven como práctica fundamental y preparatoria para el tema más complejo de las integrales múltiples (o dobles).
El objetivo es dominar el concepto de «integración parcial».
Concepto Fundamental: Integrar con Respecto a una Variable:
La parte más importante de la integral es el diferencial (por ejemplo, dx), ya que indica cuál es la variable de integración.
Cualquier otra variable o número que no sea la variable de integración se trata como una constante.
Metodología de Cálculo:
Identificar las constantes: Observa el diferencial (dx, dy, etc.) para saber con respecto a qué variable integrar. Todo lo demás es una constante.
Sacar las constantes de la integral: Al igual que con los números, las variables que actúan como constantes pueden moverse fuera del símbolo de la integral.
Integrar la variable restante: Realiza la integración de la variable indicada (en este caso, ‘x’) aplicando las reglas de integración conocidas.
Todos los ejemplos se resuelven integrando con respecto a x (dx).
a) ∫ 4x²y dx
Constantes: 4 e y.
Cálculo: 4y ∫ x² dx = 4y * (x³/3)
b) ∫ 2xy³ dx
Constantes: 2 e y³.
Cálculo: 2y³ ∫ x dx = 2y³ * (x²/2) = y³x²
c) ∫ (5x²y² + 3xy³) dx
Se separa en la suma de dos integrales.
Primera integral: ∫ 5x²y² dx = 5y² ∫ x² dx = 5y²(x³/3)
Segunda integral: ∫ 3xy³ dx = 3y³ ∫ x dx = 3y³(x²/2)
Resultado final: 5y²(x³/3) + 3y³(x²/2)
d) ∫ (2x²y³ – 4xy² + 2) dx
Se descompone en tres integrales.
Primer término: 2y³(x³/3)
Segundo término: -4y²(x²/2)
Tercer término: 2x
Resultado final: 2y³(x³/3) – 4y²(x²/2) + 2x